二叉树的遍历(层遍历和深度遍历)

定义:
1、满二叉树:一棵深度为k且有2的k次方减1个结点的二叉树称为满二叉树
2、完全二叉树:如果有深度为k的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时,称之为完全二叉树。
性质:
1、二叉树的第i层上至多有2的i-1次方个结点(i>=1)。
2、深度为k的二叉树至多有2的k次方减1个结点(k>=1)。
3、对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。
4、具有n个结点的完全二叉树的深度为以2为底n的对数取下限加1。
5、如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号,则对任一结点i(1=<i=<n)有:
(1)如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则双亲PARENT(i)是结点[i/2]
(2)如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i
(3)如果2i+1>n,则结点i无右孩子;否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1.
存储结构:顺序存储结构(数组方式),链式存储结构(二叉链表)
 
二叉树链表存储方式:
struct BiNode
{
   Type  data;
   struct BiNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiNode,*BiTree
 
设计一个算法层序遍历二叉树(同一层从左到右访问)。
思想:用一个队列保存被访问的当前节点的左右孩子以实现层序遍历。
void HierarchyBiTree(BiTree Root)
{
       LinkQueue *Q; // 保存当前节点的左右孩子的队列
      
       InitQueue(Q); // 初始化队列

       if (Root == NULL) return ; //树为空则返回
       BiNode *p = Root;         // 临时保存树根Root到指针p中
       Visit(p->data);     // 访问根节点
       if (p->lchild)

        EnQueue(Q, p->lchild);  // 若存在左孩子,左孩子进队列
       if (p->rchild)
        EnQueue(Q, p->rchild); // 若存在右孩子,右孩子进队列

       while (!QueueEmpty(Q)) // 若队列不空,则层序遍历

                      
                DeQueue(Q, p); // 出队列
               Visit(p->data);// 访问当前节点

               if (p->lchild)

                EnQueue(Q, p->lchild); // 若存在左孩子,左孩子进队列
               if (p->rchild)
                EnQueue(Q, p->rchild); // 若存在右孩子,右孩子进队列
       }

       DestroyQueue(Q);               // 释放队列空间
       return ;
}

算法分析:假设T有n个节点。因为本算法中基本操作是Visit(p->data),则时间复杂度为O(n);由于用一个队列保存当前孩子的节点,所以队列占用的额外空间为该二叉树的叶子节点数,最好情况是一棵只有左分支或只有右分支的单边树,此时占用空间最少,仅为1。最坏情况是该树是满二叉树,此时占用的空间最多为(n+1)/2。

深度遍历是软件开发中经常遇到的遍历方法。常用的遍历方法主要有下面三种:(1)前序遍历;(2)中序遍历;(3)后序遍历。按照递归的方法,这三种遍历的方法其实都不困难,前序遍历就是根-左-右,中序遍历就是左-根-右,后续遍历就是左-右-根。代码实现起来也不复杂。

1)前序遍历

[cpp][/cpp] view plaincopy

  1. void preorder_traverse(TREE_NODE* pTreeNode)
  2. {
  3.     if(pTreeNode){
  4.         printf(“%d”, pTreeNode->data);
  5.         preorder_traverse(pTreeNode->left);
  6.         preorder_traverse(pTreeNode->right);
  7.     }
  8. }
2)中序遍历
[cpp][/cpp] view plaincopy

  1. void inorder_traverse(TREE_NODE* pTreeNode)
  2. {
  3.     if(pTreeNode){
  4.         inorder_traverse(pTreeNode->left);
  5.         printf(“%d”, pTreeNode->data);
  6.         inorder_traverse(pTreeNode->right);
  7.     }
  8. }
3)后序遍历
  1. void afterorder_traverse(TREE_NODE* pTreeNode)
  2. {
  3.     if(pTreeNode){
  4.         afterorder_traverse(pTreeNode->left);
  5.         afterorder_traverse(pTreeNode->right);
  6.         printf(“%d”, pTreeNode->data);
  7.     }
  8. }

 

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//计算结点的总个数
int nodeTotal(binTree *rootNode)
{
if(rootNode==NULL)return 0;
else
{
return 1+nodeTotal(rootNode->lNode)+nodeTotal(rootNode->rNode);
}
}
//计算二叉树的深度
int treeDepth(binTree *rootNode)
{
if(rootNode==NULL)return -1;
else
{
int lH=treeDepth(rootNode->lNode);
int rH=treeDepth(rootNode->rNode);
if(lH>rH)return lH+1;
return rH+1;
}
}
//计算叶子结点的个数
int leafTotal(binTree *rootNode)
{
if(rootNode==NULL)return 0;
else
{
if(rootNode->lNode==NULL && rootNode->rNode==NULL)return 1;
else
{
int lH=leafTotal(rootNode->lNode);
int rH=leafTotal(rootNode->rNode);
return rH+lH;
}
}
}

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